Analitik Geometri

Analitik Geometri (Osmanlica Tahlili hendese, Fransizca Géometri analytique), Geometrik çalismaya cebrik analizi tatbik eden ve cebrik problemlerin çözümünde geometrik kavramlari kullanan bir matematik dali. Bütün bunlar kartezyen sistem denilen bir koordinat sisteminin kullanilmasiyla mümkündür. Kartezyen kelimesi, batida analitik geometride ilk ilmi çalismayi yapan René Descartes'tan gelmektedir.

Fransiz düsünürü Descartes'in çok önemli bir bulusudur. Descartes'a gelinceye kadar geometri problemleri ayri ayri yöntemlerle, sistemsiz olarak ve anlak gücüyle çözümleniyordu. Descartes'in Kartezyen koordinat sistemini kullanarak ve cebir dilini geometriye uygulayarak buldugu bu yöntemle geometri problemleri cebir denklemelerine çevrildi ve cebirle çözümlendikten sonra geometri diliyle açiklandi. Birçok fizik probleminin çözümü de bu yöntemle kolaylasmis oldu.

Uzay analitik geometride temel bir konu, bir egrinin veya belirli sartlar altinda herhangi bir dogru veya noktanin kendi hareketiyle meydana getirdigi yüzeyin denklemidir. Denklem, egriyi meydana getiren her bir nokta kümesi tarafindan saglanan sayisal terimlerle ifade edilir. Mesela, merkezi baslangiçta olan birim yariçapli daire, baslangiçtan, birim uzakliktaki noktalar kümesidir. Bir çember üzerindeki herhangi bir nokta (x,y) koordinatlarina sahipse, birim yariçapli çemberin denklemi :

x² + y² = 1 olur.

Bu denklem, çember üzerindeki her noktanin koordinatlari tarafindan saglanir. Benzer sekilde x² + y²= 4 denklemi merkezi baslangiçta ve yariçapi iki birim olan çemberin denklemidir.

Bazi geometrik ifadeler esitsizliklerle ifade edilebilir. Mesela;

x² + y² < 1 yukarida tarif edilen çemberin içindeki bütün noktalari;

x² + y² > 1 denklemi de disindaki bütün noktalari ifade eder.

1 < x² + y² < 4 esitsizligi x² + y² = 1 ve x² + y² = 4 denklemi bu iki çember arasindaki alanin noktalarini gösterir. Analitik geometri, x ve y eksenlerine bir noktada dik olan üçüncü bir z ekseni ile genisletilir. x, y ve z eksenleriyle gösterilen bir denklem yüzey ifade eder. Mesela,

x² + y² + z² = 1 merkezi baslangiçta yariçapi bir birim olan kürenin denklemidir. Yüzeylerin ve egrilerin önemli özelliklerini arastirmada kullanilan analitik geometri metatlarson üç asirda bilimin en önemli araçlarindan biri haline gelmistir. Analitik Geometri (Osmanlica Tahlili hendese, Fransizca Géometri analytique), Geometrik çalismaya cebrik analizi tatbik eden ve cebrik problemlerin çözümünde geometrik kavramlari kullanan bir matematik dali. Bütün bunlar kartezyen sistem denilen bir koordinat sisteminin kullanilmasiyla mümkündür. Kartezyen kelimesi, batida analitik geometride ilk ilmi çalismayi yapan René Descartes'tan gelmektedir.Fransiz düsünürü Descartes'in çok önemli bir bulusudur. Descartes'a gelinceye kadar geometri problemleri ayri ayri yöntemlerle, sistemsiz olarak ve anlak gücüyle çözümleniyordu. Descartes'in Kartezyen koordinat sistemini kullanarak ve cebir dilini geometriye uygulayarak buldugu bu yöntemle geometri problemleri cebir denklemelerine çevrildi ve cebirle çözümlendikten sonra geometri diliyle açiklandi. Birçok fizik probleminin çözümü de bu yöntemle kolaylasmis oldu.Uzay analitik geometride temel bir konu, bir egrinin veya belirli sartlar altinda herhangi bir dogru veya noktanin kendi hareketiyle meydana getirdigi yüzeyin denklemidir. Denklem, egriyi meydana getiren her bir nokta kümesi tarafindan saglanan sayisal terimlerle ifade edilir. Mesela, merkezi baslangiçta olan birim yariçapli daire, baslangiçtan, birim uzakliktaki noktalar kümesidir. Bir çember üzerindeki herhangi bir nokta (x,y) koordinatlarina sahipse, birim yariçapli çemberin denklemi :x² + y² = 1 olur. Bu denklem, çember üzerindeki her noktanin koordinatlari tarafindan saglanir. Benzer sekilde x² + y²= 4 denklemi merkezi baslangiçta ve yariçapi iki birim olan çemberin denklemidir.Bazi geometrik ifadeler esitsizliklerle ifade edilebilir. Mesela;x² + y² < 1 yukarida tarif edilen çemberin içindeki bütün noktalari;x² + y² > 1 denklemi de disindaki bütün noktalari ifade eder.1 < x² + y² < 4 esitsizligi x² + y² = 1 ve x² + y² = 4 denklemi bu iki çember arasindaki alanin noktalarini gösterir. Analitik geometri, x ve y eksenlerine bir noktada dik olan üçüncü bir z ekseni ile genisletilir. x, y ve z eksenleriyle gösterilen bir denklem yüzey ifade eder. Mesela,x² + y² + z² = 1 merkezi baslangiçta yariçapi bir birim olan kürenin denklemidir. Yüzeylerin ve egrilerin önemli özelliklerini arastirmada kullanilan analitik geometri metatlarson üç asirda bilimin en önemli araçlarindan biri haline gelmistir.